Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{2 - \sqrt{x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 - \sqrt{x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 - \sqrt{x} \geq 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \sqrt{x} \geq - 2$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(- \sqrt{x})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${(- x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.2.1.5

Simplifiez

$x \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x \geq 4$

Étape 3.4

Déterminez le domaine de $2 - \sqrt{x}$ .

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Étape 3.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 3.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 3.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 3.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - \sqrt{- 2} \geq 0$

Étape 3.6.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 3.6.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - \sqrt{2} \geq 0$

Étape 3.6.2.3

Le côté gauche $0.58578643$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 3.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 3.6.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$2 - \sqrt{6} \geq 0$

Étape 3.6.3.3

Le côté gauche $- 0.44948974$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 3.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 3.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 4$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, 4]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Étape 5