Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 3 x + 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 3 x + 2 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.5$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $1.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 3 \cdot 4 + 2 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < 1$ Vrai

$1 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 1$ ou $x \geq 2$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1] \cup [2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq 1, x \geq 2}$

Étape 4