Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x^{2} - 2 x + 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 2 x + 1 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$x > 1$

Étape 2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.6.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 1 > 0$

Étape 2.6.1.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.6.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 1 > 0$

Étape 2.6.2.3

Le côté gauche $9$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.6.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

$x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

Étape 2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 1$ ou $x > 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1}$

Étape 4