Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{9 - x^{2}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$9 - x^{2} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} \geq - 9$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} \geq - 9$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} \leq 9$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

Étape 2.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq \sqrt{9}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{9}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \leq | 3 |$

Étape 2.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$| x | \leq 3$

Étape 2.5

Écrivez $| x | \leq 3$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \leq 3$

Étape 2.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \leq 3$

Étape 2.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.6

Déterminez l’intersection de $x \leq 3$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 3$

Étape 2.7

Résolvez $- x \leq 3$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \leq 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.7.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.7.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{3}{- 1}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.1.3.1

Divisez $3$ par $- 1$ .

$x \geq - 3$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $x \geq - 3$ et $x < 0$ .

$- 3 \leq x < 0$

Étape 2.8

Déterminez l’union des solutions.

$- 3 \leq x \leq 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 - x^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$9 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$9 - x^{2} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 9$

Étape 4.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 9$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez $- 9$ par $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Étape 4.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 4.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 4.3.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 4.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 4.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 4.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 3, 3)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 3 < x < 3}$

Étape 6