Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} - 3 x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 3 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $10$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

${(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq 0$ ou $x \geq 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[4]{x^{2} - 3 x} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}}^{4} = 0^{4}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{2} - 3 x}$ comme ${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 3 x)}^{1} = 0^{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 3 x = 0^{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < 0, x > 3}$

Étape 6