Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sin (2 x)}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sin (2 x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sin (2 x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez

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Étape 2.5.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.7

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{π n}{2}}$ , pour tout entier $n$

Étape 4