Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 - e^{x^{2}}}{1 - e^{1 - x^{2}}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - e^{x^{2}}}{1 - e^{1 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - e^{1 - x^{2}} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{1 - x^{2}} = - 1$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- e^{1 - x^{2}} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{1 - x^{2}} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{1 - x^{2}}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{1 - x^{2}}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $e^{1 - x^{2}}$ par $1$ .

$e^{1 - x^{2}} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{1 - x^{2}} = 1$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (1)$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Développez $\ln (e^{1 - x^{2}})$ en déplaçant $1 - x^{2}$ hors du logarithme.

$(1 - x^{2}) \ln (e) = \ln (1)$

Étape 2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(1 - x^{2}) \cdot 1 = \ln (1)$

Étape 2.4.3

Multipliez $1 - x^{2}$ par $1$ .

$1 - x^{2} = \ln (1)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Étape 2.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 1$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.7.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 2.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 1, - 1}$

Étape 4