Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[5]{\sqrt{3^{- 25}}}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt[5]{\sqrt{\frac{1}{3^{25}}}}$

Étape 2

Élevez $3$ à la puissance $25$ .

$\sqrt[5]{\sqrt{\frac{1}{847288609443}}}$

Étape 3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{847288609443}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{847288609443}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{847288609443}}}$

Étape 4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{847288609443}}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $847288609443$ comme $531441^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $282429536481$ à partir de $847288609443$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{282429536481 (3)}}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $282429536481$ comme $531441^{2}$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{\sqrt{531441^{2} \cdot 3}}}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{\frac{1}{531441 \sqrt{3}}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{1}{531441 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{1}{531441 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Étape 7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{531441 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 7.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}$

Étape 7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}}$

Étape 7.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}}$

Étape 7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Étape 7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 7.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 7.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 7.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 7.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 7.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3^{1}}}$

Étape 7.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{531441 \cdot 3}}$

Étape 8

Multipliez $531441$ par $3$ .

$\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{1594323}}$

Étape 9

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{\sqrt{3}}{1594323}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{1594323}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{1594323}}$

Étape 10

Réécrivez $\sqrt[5]{\sqrt{3}}$ comme $\sqrt[10]{3}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{1594323}}$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Réécrivez $1594323$ comme $9^{5} \cdot 27$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $59049$ à partir de $1594323$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{59049 (27)}}$

Étape 11.1.2

Réécrivez $59049$ comme $9^{5}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{\sqrt[5]{9^{5} \cdot 27}}$

Étape 11.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$

Étape 12

Multipliez $\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$

Étape 13

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1

Multipliez $\frac{\sqrt[10]{3}}{9 \sqrt[5]{27}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{27}}^{4}}{{\sqrt[5]{27}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \sqrt[5]{27} {\sqrt[5]{27}}^{4}}$

Étape 13.2

Déplacez $\sqrt[5]{27}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 (\sqrt[5]{27} {\sqrt[5]{27}}^{4})}$

Étape 13.3

Élevez $\sqrt[5]{27}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 ({\sqrt[5]{27}}^{1} {\sqrt[5]{27}}^{4})}$

Étape 13.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {\sqrt[5]{27}}^{1 + 4}}$

Étape 13.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {\sqrt[5]{27}}^{5}}$

Étape 13.6

Réécrivez ${\sqrt[5]{27}}^{5}$ comme $27$ .

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Étape 13.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{27}$ comme $27^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 {(27^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 13.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 13.6.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{5}{5}}}$

Étape 13.6.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{\frac{5}{5}}}$

Étape 13.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27^{1}}$

Étape 13.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[10]{3} {\sqrt[5]{27}}^{4}}{9 \cdot 27}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{27}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{27^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{27^{4}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.2

Élevez $27$ à la puissance $4$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{531441}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.3

Réécrivez $531441$ comme $9^{5} \cdot 9$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $59049$ à partir de $531441$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{59049 (9)}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.3.2

Réécrivez $59049$ comme $9^{5}$ .

$\frac{\sqrt[10]{3} \sqrt[5]{9^{5} \cdot 9}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt[10]{3} \cdot 9 \sqrt[5]{9}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5

Associez les exposants.

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Étape 14.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $10$ .

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Étape 14.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{9}$ comme $9^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \cdot 9^{\frac{1}{5}})}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.1.2

Réécrivez $9^{\frac{1}{5}}$ comme $9^{\frac{2}{10}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \cdot 9^{\frac{2}{10}})}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.1.3

Réécrivez $9^{\frac{2}{10}}$ comme $\sqrt[10]{9^{2}}$ .

$\frac{9 (\sqrt[10]{3} \sqrt[10]{9^{2}})}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 9^{2}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot {(3^{2})}^{2}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.4

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{2}$ .

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Étape 14.5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 3^{2 \cdot 2}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3 \cdot 3^{4}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{1 + 4}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.5.6

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{5}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.6

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{243}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.7

Réécrivez $243$ comme $3^{5}$ .

$\frac{9 \sqrt[10]{3^{5}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.8

Réécrivez $\sqrt[10]{3^{5}}$ comme $\sqrt{\sqrt[5]{3^{5}}}$ .

$\frac{9 \sqrt{\sqrt[5]{3^{5}}}}{9 \cdot 27}$

Étape 14.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Étape 15

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 15.1

Multipliez $9$ par $27$ .

$\frac{9 \sqrt{3}}{243}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $243$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \sqrt{3}$ .

$\frac{9 (\sqrt{3})}{243}$

Étape 15.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $243$ .

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Étape 15.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \sqrt{3}}{9 \cdot 27}$

Étape 15.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{27}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{27}$

Forme décimale :

$0.06415002 \dots$