Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y}) \cdot 1}{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = (9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y}) \cdot 1$ et $g (y) = 2$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{7 \cdot x}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $7$ à gauche de $y$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{7 x}{6} \cdot \frac{7 \cdot y}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{7 x}{6}$ par $\frac{7 y}{2}$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{7 x (7 y)}{6 \cdot 2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{6 \cdot 2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{2 \cdot x}{7} \cdot y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 2.5

Associez $\frac{2 x}{7}$ et $y$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{2 x y}{7}} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 3

Réécrivez $\frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{2 x y}{7}}$ comme un produit.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot (\frac{49 x y}{12} \cdot \frac{1}{\frac{2 x y}{7}}) \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{2 x y}{7}$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot (\frac{49 x y}{12} (1 \frac{7}{2 x y})) \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{7}{2 x y}$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot (\frac{49 x y}{12} \cdot \frac{7}{2 x y}) \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{49 x y}{12}$ par $\frac{7}{2 x y}$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{49 x y \cdot 7}{12 (2 x y)} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez.

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Étape 5.3.1

Multipliez $7$ par $49$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343 x y}{12 (2 x y)} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343 x y}{24 (x y)} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343 x y}{24 x y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343 y}{24 y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343 y}{24 y} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [9 \cdot \frac{343}{24} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.6

Associez $9$ et $\frac{343}{24}$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{9 \cdot 343}{24} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.7

Multipliez $9$ par $343$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{3087}{24} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun à $3087$ et $24$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $3$ à partir de $3087$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{3 (1029)}{24} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{3 \cdot 1029}{3 \cdot 8} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{3 \cdot 1029}{3 \cdot 8} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{1029}{8} \cdot 1] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 5.9

Multipliez $\frac{1029}{8}$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{d}{d y} [\frac{1029}{8}] - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 6

Comme $\frac{1029}{8}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1029}{8}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \frac{d}{d y} [2]}{2^{2}}$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7}{6} \cdot \frac{y \cdot 7}{2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.2

Multipliez $\frac{x \cdot 7}{6}$ par $\frac{y \cdot 7}{2}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7 (y \cdot 7)}{6 \cdot 2}}{\frac{x \cdot 2}{7} \cdot y} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.3

Associez $\frac{x \cdot 2}{7}$ et $y$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 7 (y \cdot 7)}{6 \cdot 2}}{\frac{x \cdot 2 y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.4

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 49 y}{6 \cdot 2}}{\frac{x \cdot 2 y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.5

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{x \cdot 49 y}{12}}{\frac{x \cdot 2 y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.6

Déplacez $49$ à gauche de $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{x \cdot 2 y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{2 x y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0 - 9 \cdot \frac{\frac{49 x y}{12}}{\frac{2 x y}{7}} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.9

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0 - 9 \cdot (\frac{49 x y}{12} \cdot \frac{7}{2 x y}) \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.10

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 8.1.1.10.1

Factorisez $x y$ à partir de $49 x y$ .

$\frac{0 - 9 \cdot (\frac{x y (49)}{12} \cdot \frac{7}{2 x y}) \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.10.2

Factorisez $x y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{0 - 9 \cdot (\frac{x y (49)}{12} \cdot \frac{7}{x y (2)}) \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.10.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{0 - 9 \cdot (\frac{x y \cdot 49}{12} \cdot \frac{7}{x y \cdot 2}) \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.10.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 - 9 \cdot (\frac{49}{12} \cdot \frac{7}{2}) \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.11

Multipliez $\frac{49}{12}$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{0 - 9 \cdot \frac{49 \cdot 7}{12 \cdot 2} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.12

Multipliez $49$ par $7$ .

$\frac{0 - 9 \cdot \frac{343}{12 \cdot 2} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.13

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{0 - 9 \cdot \frac{343}{24} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.1.1.14.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{0 + 3 (- 3) \cdot \frac{343}{24} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.14.2

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$\frac{0 + 3 \cdot - 3 \cdot \frac{343}{3 \cdot 8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{0 + 3 \cdot - 3 \cdot \frac{343}{3 \cdot 8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 - 3 \cdot \frac{343}{8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.15

Associez $- 3$ et $\frac{343}{8}$ .

$\frac{0 + \frac{- 3 \cdot 343}{8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.16

Multipliez $- 3$ par $343$ .

$\frac{0 + \frac{- 1029}{8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{0 - \frac{1029}{8} \cdot 1 \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.18

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - \frac{1029}{8} \cdot 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.19

Multipliez $- \frac{1029}{8} \cdot 0$ .

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Étape 8.1.1.19.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{0 + 0 (\frac{1029}{8})}{2^{2}}$

Étape 8.1.1.19.2

Multipliez $0$ par $\frac{1029}{8}$ .

$\frac{0 + 0}{2^{2}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Étape 8.2

Associez des termes.

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Étape 8.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$\frac{4 (0)}{4}$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1}$

Étape 8.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0$