Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sin (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - \sin (x) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x)$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) - 2 x \sin (x)}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x \cos (x)) + x (- 2 \sin (x))$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x^{4}}$

Étape 4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x \cos (x) - 2 \sin (x))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cos (x) - 2 \sin (x)}{x^{3}}$