Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 \cos (x)}{5 x^{3}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 \cos (x)$ et $g (x) = 5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} \frac{d}{d x} [3 \cos (x)] - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{5 x^{3} (3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{5 x^{3} (3 (- \sin (x))) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (5 (3 x^{2}))}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{{(5 x^{3})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{3} (- 3 \sin (x)) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 1 \cdot 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 3 \cos (x) (15 x^{2})}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $15$ par $- 3$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 \cos (x) x^{2}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{5^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 {(x^{3})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{3 \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Étape 5.4

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $- 15 x^{3} \sin (x) - 45 x^{2} \cos (x)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $- 15 x^{3} \sin (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) - 45 x^{2} \cos (x)}{25 x^{6}}$

Étape 5.4.2

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $- 45 x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Étape 5.4.3

Factorisez $15 x^{2}$ à partir de $15 x^{2} (- x \sin (x)) + 15 x^{2} (- 3 \cos (x))$ .

$\frac{15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{25 x^{6}}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $15$ et $25$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{25 x^{6}}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25 x^{6}$ .

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 (5 x^{6})}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{6}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (- x \sin (x) - 3 \cos (x))$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{5 x^{6}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x)))}{x^{2} (5 x^{4})}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- x \sin (x) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x)) - (3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Étape 5.10

Réécrivez $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ comme $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ .

$\frac{3 (- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x)))}{5 x^{4}}$

Étape 5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{5 x^{4}}$