Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle du quotient. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x) - \frac{x^{5}}{50}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10} \cdot \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez $\frac{x^{5}}{10}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5} \ln (x)}{10}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{5} \ln (x)}{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.6

Associez $x^{5}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 3.7.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{50}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Comme $- \frac{1}{50}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{5}}{50}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{1}{50} (5 x^{4})$

Étape 4.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - 5 (\frac{1}{50}) x^{4}$

Étape 4.4

Associez $- 5$ et $\frac{1}{50}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5}{50} x^{4}$

Étape 4.5

Associez $\frac{- 5}{50}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- 5 x^{4}}{50}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $50$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{50}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $50$ .

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (10)}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 10}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) + \frac{- x^{4}}{10}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{10} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{1}{10} (\ln (x) (5 x^{4})) - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x)}{10} (5 x^{4}) - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.2

Associez $5$ et $\frac{\ln (x)}{10}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x)}{10} x^{4} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{5 \ln (x)}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 \ln (x) x^{4}}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \ln (x) x^{4}$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{5 (\ln (x) x^{4})}{5 \cdot 2} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{10} x^{4} + \frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.5

Pour écrire $\frac{1}{10} x^{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{1}{10} x^{4} \cdot \frac{10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.6

Associez $\frac{1}{10} x^{4}$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10}{10} - \frac{x^{4}}{10}$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{1}{10} x^{4} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.8

Associez $\frac{1}{10}$ et $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4}}{10} \cdot 10 - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.9

Associez $\frac{x^{4}}{10}$ et $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{x^{4} \cdot 10}{10} - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.10

Déplacez $10$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 \cdot x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{\frac{10 x^{4}}{10} - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.11.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{x^{4} - x^{4}}{10}$

Étape 5.2.12

Soustrayez $x^{4}$ de $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{10}$

Étape 5.2.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.13.1

Factorisez $10$ à partir de $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 (0)}{10}$

Étape 5.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.13.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Étape 5.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{10 \cdot 0}{10 \cdot 1}$

Étape 5.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + \frac{0}{1}$

Étape 5.2.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} + 0$

Étape 5.2.14

Additionnez $\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$ et $0$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{2}$