Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Multipliez $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les termes opposés dans $x - 1 - x - 1$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$