Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $x$ par $0$ .

$\frac{0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 + 0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$