Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{7}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 7$ et $g (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \frac{d}{d x} [7] - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{2}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{x^{2}} \cdot 0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x^{2}}$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{0 - 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.1.1.3

Multipliez $- 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 9.1.1.3.1

Associez $- 7$ et $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{0 + \frac{- 7 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.1.1.3.2

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$\frac{0 + \frac{- 14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.1.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{0 - \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ de $0$ .

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}$

Étape 9.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 9.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Étape 9.2.3

Réécrivez $\frac{- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ comme un produit.

$- \frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$

Étape 9.2.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}$ par $\frac{14}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{14}{\sqrt[3]{x^{4}} (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 9.2.5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{14}{3 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 9.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 9.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{14}{3 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Étape 9.2.8

Additionnez $4$ et $1$ .

$- \frac{14}{3 x^{\frac{5}{3}}}$