Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{8 x - 16}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 8 x - 16$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [8 x - 16] - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (8 + \frac{d}{d x} [- 16]) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (8 + 0) - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 8 + (- (8 x) - - 16) (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} \cdot 8 - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2} - (8 x) (2 x) - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 x^{2} - (8 x^{2}) \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 x^{2} \cdot 2 - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} - - 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 16 (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 32 x}{x^{4}}$

Étape 5.5

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{2} + 32 x$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $8 x$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- x) + 32 x}{x^{4}}$

Étape 5.5.2

Factorisez $8 x$ à partir de $32 x$ .

$\frac{8 x (- x) + 8 x (4)}{x^{4}}$

Étape 5.5.3

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (- x) + 8 x (4)$ .

$\frac{8 x (- x + 4)}{x^{4}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $8 x (- x + 4)$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x^{4}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (8 (- x + 4))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 (- x + 4)}{x^{3}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 4)}{x^{3}}$

Étape 5.8

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 4))}{x^{3}}$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{8 (- (x - 4))}{x^{3}}$

Étape 5.10

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 4))}{x^{3}}$

Étape 5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (x - 4)}{x^{3}}$