Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 5

Additionnez $0$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $\sec (x) \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.3.1

Déplacez $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec (x)$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.3

Remettez dans l’ordre $\tan^{2} (x)$ et $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.2.11

Réécrivez $- 1 \sec (x)$ comme $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Étape 6.3.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$