Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (3 \sin (x))$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 \sin (x))] - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (\cos (3 \sin (x)) (3 \frac{d}{d x} [\sin (x)])) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 \sin (x))$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cdot \cos (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 5

Réorganisez les facteurs de $3 \cos (3 \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Étape 6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \cos (x) \cos (3 \sin (x))) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x) \cos (3 \sin (x)) - \sin (3 \sin (x)) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 \cos (x) \cos (3 \sin (x)) \sin (x) - \cos (x) \sin (3 \sin (x))}{\sin^{2} (x)}$