Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{\frac{3}{4}} + 4 x^{- \frac{1}{4}}$

Étape 1

Cette dérivée n’a pas pu être terminée avec la règle de produit. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{3}{4}} + 4 x^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{3}{4}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.8

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$2 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.9

Associez $2$ et $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$\frac{2 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{1}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{4 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.12

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{1}{4}})} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{- \frac{1}{4}}]$ .

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{- \frac{1}{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Étape 4.8

Associez $x^{- \frac{5}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Étape 4.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} - 4 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 4.10

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Étape 4.11

Placez $x^{- \frac{5}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 4}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.12

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.13.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (x^{\frac{5}{4}})}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 \cdot - 1}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{- 1}{x^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}$