Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sqrt{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10

Associez des termes.

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Étape 10.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 10.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x} \cdot 1$

Étape 10.4

Multipliez $\sqrt{x}$ par $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \sqrt{x}$