Calcul infinitésimal Exemples

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 5 x^{2} - 1$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

Étape 6.2

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Étape 7.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

Étape 7.3.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

Étape 7.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

Étape 7.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

Étape 7.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

Étape 7.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

Étape 7.3.8

Multipliez $10$ par $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

Étape 7.3.9

Additionnez $20 x^{2}$ et $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$60 x^{2} + 30 x - 4$