Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 7 x^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{3}$ et $g (x) = 4 x^{4} - 7 x^{3}$ .

$3 x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 7 x^{3}] + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} - 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$3 x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 (3 x^{2}))$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3

Associez des termes.

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Étape 6.3.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$48 x^{3} x^{3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$48 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 x^{3 + 3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$48 x^{6} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 21$ par $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{3} x^{2} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 x^{6} - 63 x^{2 + 3} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.4.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.5

Multipliez $9$ par $4$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{4} x^{2} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.6

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 (x^{2} x^{4}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{2 + 4} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.6.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Étape 6.3.7

Multipliez $9$ par $- 7$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{3} x^{2}$

Étape 6.3.8

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3})$

Étape 6.3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{2 + 3}$

Étape 6.3.8.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{5}$

Étape 6.3.9

Additionnez $48 x^{6}$ et $36 x^{6}$ .

$84 x^{6} - 63 x^{5} - 63 x^{5}$

Étape 6.3.10

Soustrayez $63 x^{5}$ de $- 63 x^{5}$ .

$84 x^{6} - 126 x^{5}$