Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x^{3} (3 x^{4} - 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - x^{3}$ et $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$- x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2] + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- x^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 4.2

Additionnez $12 x^{3}$ et $0$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- (3 x^{2}))$

Étape 4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{3} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 2) (- 3 x^{2})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{3} (12 x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- 12 x^{3} x^{3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 12 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 x^{3 + 3} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$- 12 x^{6} + 3 x^{4} (- 3 x^{2}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{4} x^{2} - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.4

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 12 x^{6} - 9 (x^{2} x^{4}) - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 x^{6} - 9 x^{2 + 4} - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.4.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} - 2 (- 3 x^{2})$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 12 x^{6} - 9 x^{6} + 6 x^{2}$

Étape 5.2.6

Soustrayez $9 x^{6}$ de $- 12 x^{6}$ .

$- 21 x^{6} + 6 x^{2}$