Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} e^{x} - 1 \cdot 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{x^{4}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ .

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x$ .

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{x^{4}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{x} (x - 2)$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x^{4}}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x} (x - 2)}{x^{3}}$