Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 - 14 t}{{(7 t)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 1 - 14 t$ et $g (t) = {(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - 14 t] - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 14 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 14 t]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 14 t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- 14 t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 14 t]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 14 t$ par rapport à $t$ est $- 14 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14 \cdot 1) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $- 14$ par $1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} (0 - 14) - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Soustrayez $14$ de $0$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 t)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7 t$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [{(7 (t))}^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $7 (t)$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $7^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 11

Associez $7^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7 t)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $7 t$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{({(7 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.2

Appliquez la règle de produit à $7 t$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.3

Appliquez la règle de produit à $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - (1 - 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 + (- 1 \cdot 1 - (- 14 t)) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 14 - 1 \cdot 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.6.1

Déplacez $- 14$ à gauche de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 14 \cdot (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.3

Réécrivez $- 1 \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - (- 14 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.4

Multipliez $- 14$ par $- 1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $14 t$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 (t^{\frac{1}{2}})}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 (7 t) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 7 t \frac{7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.6

Associez $7$ et $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.7

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.6.7.1

Multipliez $7$ par $7^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 13.6.7.1.1

Élevez $7$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{1 + \frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{2 + 1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.7.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \frac{7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.8

Associez $t$ et $\frac{7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{t \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.9

Placez $t^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t \cdot 7^{\frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10

Multipliez $t$ par $t^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.6.10.1

Déplacez $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10.2

Multipliez $t^{- \frac{1}{2}}$ par $t$ .

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Étape 13.6.10.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.6.10.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.7

Associez des termes.

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Étape 13.7.1

Multipliez les exposants dans ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 13.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.7.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.7.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.7.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7^{1} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.7.2

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.7.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 13.7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.7.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.7.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.7.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t^{1}}$

Étape 13.7.4

Simplifiez

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{3}{2}}}{7 t}$

Étape 13.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.1

Pour écrire $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.2

Associez $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.9.4.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{1} - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.3

Simplifiez $- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 14 \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot 2 t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.4.4

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.5

Pour écrire $7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.6

Associez $7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.2

Multipliez $t^{\frac{1}{2}}$ par $t^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.9.8.2.1

Déplacez $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{1} - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.3

Simplifiez $7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{7^{\frac{3}{2}} \cdot 2 t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.9.8.4

Déplacez $2$ à gauche de $7^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{7 t}$

Étape 13.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 t}$

Étape 13.11

Multipliez $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{7 t}$ .

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Étape 13.11.1

Multipliez $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{7 t}$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}} (7 t)}$

Étape 13.11.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{1}{2}} t}$

Étape 13.11.3

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})}$

Étape 13.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 13.11.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 13.11.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 13.11.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 \cdot 7^{\frac{3}{2}} t - 28 \cdot 7^{\frac{1}{2}} t - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 t \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 28 t \cdot 7^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}{14 t^{\frac{3}{2}}}$