Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ est $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ où $f (r) = r$ et $g (r) = \sqrt{r^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r^{2} + 1}$ comme ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ et $g (r) = r^{2} + 1$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 8.3

Placez ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{2} + 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Additionnez $2 r$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 12.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r)}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 12.3

Associez $\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 12.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.1

Multipliez $\sqrt{r^{2} + 1}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.1.2

Multipliez $- r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 13.1.1.2.1

Associez $\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r \cdot r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.1.2.2

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.1.2.3

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r^{1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1 + 1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.2

Pour écrire $\sqrt{r^{2} + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.4.1

Multipliez $\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 13.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r^{2} + 1}$ comme ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.2

Simplifiez

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.3

Soustrayez $r^{2}$ de $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.1.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Réécrivez ${\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}$ comme $r^{2} + 1$ .

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Étape 13.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{r^{2} + 1}$ comme ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 13.2.1.5

Simplifiez

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Étape 13.2.2

Réécrivez $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ comme un produit.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

Étape 13.2.3

Multipliez $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

Étape 13.2.4

Multipliez ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $r^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.2.4.1

Multipliez ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $r^{2} + 1$ .

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Étape 13.2.4.1.1

Élevez $r^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 13.2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 13.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 13.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 13.2.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$