Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\cos (t)}{t^{5}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = t^{5}$ .

$\frac{t^{5} \frac{d}{d t} [\cos (t)] - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) \frac{d}{d t} [t^{5}]}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{t^{5} (- \sin (t)) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- t^{5} \sin (t) - \cos (t) (5 t^{4})}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- t^{5} \sin (t) - 5 \cos (t) t^{4}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{{(t^{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{5})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{5 \cdot 2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $t^{4}$ à partir de $- t^{5} \sin (t) - 5 t^{4} \cos (t)$ .

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $t^{4}$ à partir de $- t^{5} \sin (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) - 5 t^{4} \cos (t)}{t^{10}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $t^{4}$ à partir de $- 5 t^{4} \cos (t)$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Étape 4.2.2.3

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{4} (- t \sin (t)) + t^{4} (- 5 \cos (t))$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{10}}$

Étape 4.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $t^{4}$ à partir de $t^{10}$ .

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{4} (- t \sin (t) - 5 \cos (t))}{t^{4} t^{6}}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- t \sin (t) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Étape 4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- t \sin (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - 5 \cos (t)}{t^{6}}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \cos (t)$ .

$\frac{- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))}{t^{6}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t \sin (t)) - (5 \cos (t))$ .

$\frac{- (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Étape 4.6

Réécrivez $- (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ comme $- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$\frac{- 1 (t \sin (t) + 5 \cos (t))}{t^{6}}$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t \sin (t) + 5 \cos (t)}{t^{6}}$