Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{t \sin (t)}{1 + t}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t \sin (t)$ et $g (t) = 1 + t$ .

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + 1)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 4.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Développez $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $t \cos (t)$ par $1$ .

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1.2.3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.2.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Associez les termes opposés dans $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ .

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Étape 5.1.2.1

Soustrayez $t \sin (t)$ de $t \sin (t)$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Additionnez $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ et $0$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$