Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 18 t$ et $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $18 t$ par rapport à $t$ est $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 81$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $81$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $81$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Déplacez $18$ à gauche de $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $81$ par $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.1.5.2

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $36 t^{2}$ de $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18 t^{2} + 1458$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18 t^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $18$ à partir de $1458$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $18$ à partir de $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Remettez dans l’ordre $- t^{2}$ et $9^{2}$ .

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$