Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{3 x^{2} - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{1}{3} (3 x^{2})) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) (\frac{3}{3} x^{2}) - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x^{2} - 2) \frac{3 x^{2}}{3} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2]}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x + 0)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$\frac{(3 x^{2} - 2) x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 2} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} (6 x)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{3} x}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x \cdot x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 (x^{1} x^{3})}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{1 + 3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 6 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{4}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 2 x^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 2 x^{2}}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2)}{{(3 x^{2} - 2)}^{2}}$