Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (x^{2} + 1) (x + 4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x} (x^{2} + 1)$ et $g (x) = x + 4$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Étape 2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) e^{x})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + 1 e^{x})$

Étape 6.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x})$

Étape 6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} x^{2} \cdot 1 + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7.3

Associez des termes.

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Étape 7.3.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7.3.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7.3.3

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4) + e^{x}$

Étape 7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1

Développez $(2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} x + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.2.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.2.1.1

Déplacez $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 (x \cdot x) e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.2.3.1

Déplacez $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x \cdot x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.5.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1} x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1 + 2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 \cdot (x^{2} e^{x}) + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Étape 7.5.2.5

Déplacez $4$ à gauche de $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.5.3

Additionnez $2 x^{2} e^{x}$ et $4 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.5.4

Additionnez $8 x e^{x}$ et $e^{x} x$ .

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Étape 7.5.4.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $x$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.5.4.2

Additionnez $8 x e^{x}$ et $x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.6

Additionnez $e^{x} x^{2}$ et $6 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 7.6.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.6.2

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $6 x^{2} e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Étape 7.7

Additionnez $4 e^{x}$ et $e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 5 e^{x}$