Calcul infinitésimal Exemples

$m (t) = - 7 t {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = - 7 t$ et $g (t) = {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 7 t \frac{d}{d t} [{(3 t^{4} - 1)}^{8}] + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{8}$ et $g (t) = 3 t^{4} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$- 7 t (8 u^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{4} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{4}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + 0)) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $12 t^{3}$ et $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3})) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.6.2

Multipliez $12$ par $8$ .

$- 7 t (96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.6.3

Réorganisez les facteurs de $96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 3.7

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $96$ par $- 7$ .

$- 672 t (t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Étape 4.2

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 672 (t^{3} t^{1}) {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 672 t^{3 + 1} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Étape 4.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

Étape 4.5

Déplacez $- 7$ à gauche de ${(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 \cdot {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Étape 4.6

Factorisez $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ à partir de $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ à partir de $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

Étape 4.6.2

Factorisez $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ à partir de $- 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$

Étape 4.6.3

Factorisez $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ à partir de $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4} - (3 t^{4} - 1))$