Calcul infinitésimal Exemples

$x^{7} {(x - 12)}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = {(x - 12)}^{5}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [{(x - 12)}^{5}] + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x - 12$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 12$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{7} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 12$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.3

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4} \cdot 1) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.4.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + {(x - 12)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + {(x - 12)}^{5} (7 x^{6})$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Déplacez $7$ à gauche de ${(x - 12)}^{5}$ .

$x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + 7 \cdot {(x - 12)}^{5} x^{6}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ à partir de $x^{7} (5 {(x - 12)}^{4}) + 7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ à partir de $x^{7} (5 {(x - 12)}^{4})$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + 7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ à partir de $7 {(x - 12)}^{5} x^{6}$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{6} {(x - 12)}^{4} (7 (x - 12))$

Étape 4.2.3

Factorisez $x^{6} {(x - 12)}^{4}$ à partir de $x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{6} {(x - 12)}^{4} (7 (x - 12))$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (x \cdot (5) + 7 (x - 12))$

Étape 4.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$x^{6} {(x - 12)}^{4} (5 x + 7 (x - 12))$