Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (y + 8 y^{3})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ et $g (x) = y + 8 y^{3}$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \frac{d}{d x} [y + 8 y^{3}] + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 8 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + \frac{d}{d x} [8 y^{3}]) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Étape 2.3

Comme $8 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) (0 + 0) + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}]$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Étape 2.6

Comme $\frac{1}{y^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{y^{2}}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{y^{4}}])$

Étape 2.7

Comme $- \frac{2}{y^{4}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{y^{4}}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) (0 + 0)$

Étape 2.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$(\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y^{4}}) \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + (y + 8 y^{3}) \cdot 0$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y^{2}} \cdot 0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $0$ .

$0 - \frac{2}{y^{4}} \cdot 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 \frac{2}{y^{4}} + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3.3

Multipliez $0$ par $\frac{2}{y^{4}}$ .

$0 + 0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + y \cdot 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3.5

Multipliez $y$ par $0$ .

$0 + 0 + 8 y^{3} \cdot 0$

Étape 3.3.6

Multipliez $0$ par $8$ .

$0 + 0 + 0 y^{3}$

Étape 3.3.7

Multipliez $0$ par $y^{3}$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 3.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 3.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$