Calcul infinitésimal Exemples

$7 x^{2} {(6 x + 3)}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x^{2}$ et $g (x) = {(6 x + 3)}^{4}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x + 3)}^{4}] + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 6 x + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x + 3$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$7 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x + 3$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [6 x + 3]) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 + \frac{d}{d x} [3])) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} (6 + 0)) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$7 x^{2} (4 {(6 x + 3)}^{3} \cdot 6) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.6.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

Étape 3.7

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (7 (2 x))$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $7$ .

$7 x^{2} (24 {(6 x + 3)}^{3}) + {(6 x + 3)}^{4} (14 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $24$ par $7$ .

$168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + {(6 x + 3)}^{4} (14 x)$

Étape 4.2

Déplacez $14$ à gauche de ${(6 x + 3)}^{4}$ .

$168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + 14 \cdot {(6 x + 3)}^{4} x$

Étape 4.3

Factorisez $14 x {(6 x + 3)}^{3}$ à partir de $168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3} + 14 {(6 x + 3)}^{4} x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $14 x {(6 x + 3)}^{3}$ à partir de $168 x^{2} {(6 x + 3)}^{3}$ .

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 {(6 x + 3)}^{4} x$

Étape 4.3.2

Factorisez $14 x {(6 x + 3)}^{3}$ à partir de $14 {(6 x + 3)}^{4} x$ .

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 3)}^{3} (6 x + 3)$

Étape 4.3.3

Factorisez $14 x {(6 x + 3)}^{3}$ à partir de $14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x) + 14 x {(6 x + 3)}^{3} (6 x + 3)$ .

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (12 x + 6 x + 3)$

Étape 4.4

Additionnez $12 x$ et $6 x$ .

$14 x {(6 x + 3)}^{3} (18 x + 3)$