Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ et $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Étape 4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 (2 x))$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 14 x)$

Étape 6

Additionnez $0$ et $14 x$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (14 x)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5

Associez des termes.

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- 2 x - 14 x^{2} x + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x - 14 x^{1 + 2} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.7

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x^{1}) - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{1 + 1} - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - x^{2} (14 x)$

Étape 7.5.12

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

Étape 7.5.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

Étape 7.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

Étape 7.5.15

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

Étape 7.5.16

Additionnez $7 x^{2}$ et $14 x^{2}$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 21 x^{2} - 14 x^{3}$

Étape 7.5.17

Soustrayez $14 x^{3}$ de $- 14 x^{3}$ .

$- 2 x - 28 x^{3} + 1 + 21 x^{2}$

Étape 7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$