Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 12 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $12$ par $6$ .

$x = 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 6 (0) - 12$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Étape 4.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, 2)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = 6 (4) - 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$f'' (4) = 24 - 12$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12$ de $24$ .

$f'' (4) = 12$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(2, \infty)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, 2)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(2, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7