Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = (1 - t^{2}) (1 - \frac{3}{t^{2}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 1 - t^{2}$ et $g (t) = 1 - \frac{3}{t^{2}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [1 - \frac{3}{t^{2}}] + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \frac{3}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{t^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{3}{t^{2}}$ par rapport à $t$ est $- 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{2}}$ comme ${(t^{2})}^{- 1}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}]) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}])) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{2 \cdot - 2} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- t^{- 4} (2 t))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 4} t)) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 (t^{1} t^{- 4}))) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{1 - 4})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$(1 - t^{2}) (0 - 3 (- 2 t^{- 3})) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 t^{- 3}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + 6 \frac{1}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) (0 + \frac{6}{t^{3}}) + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{6}{t^{3}}$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 5.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - (2 t))$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (0 - 2 t)$

Étape 7

Soustrayez $2 t$ de $0$ .

$(1 - t^{2}) \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + (1 - \frac{3}{t^{2}}) (- 2 t)$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{6}{t^{3}}$ par $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - t^{2} \frac{6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{6}{t^{3}}$ et $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6 t^{2}}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $6 t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{3}} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{3}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{t^{2} \cdot 6}{t^{2} t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} + 1 (- 2 t) - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t - \frac{3}{t^{2}} (- 2 t)$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + 2 \frac{3}{t^{2}} t$

Étape 8.3.6

Associez $2$ et $\frac{3}{t^{2}}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{2 \cdot 3}{t^{2}} t$

Étape 8.3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t^{2}} t$

Étape 8.3.8

Associez $\frac{6}{t^{2}}$ et $t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6 t}{t^{2}}$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.9.1

Factorisez $t$ à partir de $6 t$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t^{2}}$

Étape 8.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.9.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Étape 8.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{t \cdot 6}{t \cdot t}$

Étape 8.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{t^{3}} - \frac{6}{t} - 2 t + \frac{6}{t}$

Étape 8.3.10

Additionnez $- \frac{6}{t}$ et $\frac{6}{t}$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t + 0$

Étape 8.3.11

Additionnez $\frac{6}{t^{3}} - 2 t$ et $0$ .

$\frac{6}{t^{3}} - 2 t$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 t + \frac{6}{t^{3}}$