Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4}}$ comme ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2 x - 5)}^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{4 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 4}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 4}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 5$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 5$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 5]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 3.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2 + 0)$

Étape 3.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 2 x - 5)}^{- 5} (2 x - 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 2 x + 2) \frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 2 x + 2$ par $\frac{4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$ .

$\frac{(- 2 x + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 2$ .

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Étape 4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 2) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (1)) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1) \cdot 4}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 (- x + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.10

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 (- (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.12

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 1))}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$

Étape 4.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (x - 1)}{{(x^{2} - 2 x - 5)}^{5}}$