Calcul infinitésimal Exemples

$y = {\sin (5 x)}^{8 x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (5 x)}^{8 x}$ comme $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (5 x)}^{8 x})$ en déplaçant $8 x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (\sin (5 x))}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x \ln (\sin (5 x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x \ln (\sin (5 x))$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [8 x \ln (\sin (5 x))]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x \ln (\sin (5 x))$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$ .

$e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))])$

Étape 3.2

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x \ln (\sin (5 x))}$ .

$8 \cdot e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (5 x))]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (5 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ à $\csc (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 x$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3.2

Déplacez $5$ à gauche de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \cdot 1)$

Étape 8.5

Multipliez $\ln (\sin (5 x))$ par $1$ .

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)))$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} (x (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Étape 9.2

Multipliez $5$ par $8$ .

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \csc (5 x) \cos (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$40 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} x \cos (5 x) \csc (5 x) + 8 e^{8 x \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))$