Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x - 5$ et $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5.2

Additionnez $6 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Étape 5.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

Étape 7.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5

Associez des termes.

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Étape 8.5.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.4

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.9

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.10

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.11

Multipliez $3$ par $2$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 1 \cdot 3$

Étape 8.5.13

Multipliez $3$ par $1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

Étape 8.5.14

Additionnez $18 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

Étape 8.5.15

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- 36 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$