Calcul infinitésimal Exemples

$4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y^{3}$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)$

Étape 3.11

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)$

Étape 3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)$

Étape 3.13

Associez $2$ et $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y$

Étape 3.14

Associez $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Étape 3.15

Placez ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.16

Annulez le facteur commun.

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17

Réécrivez l’expression.

$12 y^{2} + \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$