Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = π$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Étape 10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $π$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $2$ et $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.2.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.3

Associez $\frac{π}{2}$ et $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.4

Réécrivez $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ comme un produit.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.5

Multipliez $\frac{π \cos (π)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.8

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.10

Additionnez $- \frac{π \cos (π)}{4}$ et $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Étape 10.3.11

Pour écrire $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Étape 10.3.12

Associez $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Étape 10.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Étape 10.3.14

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Étape 10.3.15

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Étape 10.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Étape 10.3.16

Multipliez $\sin (π) - \sin (0)$ par $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Étape 11

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Étape 11.3

Additionnez $- π \cos (π) + \sin (π)$ et $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Étape 11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Étape 11.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Étape 11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Étape 11.7

Réécrivez $- (π \cos (π) - \sin (π))$ comme $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Étape 11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Étape 12

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Étape 12.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Étape 12.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Étape 12.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Étape 12.5

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Étape 12.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Étape 12.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Étape 12.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Étape 12.9

Additionnez $- π$ et $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Étape 12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{π}{4}$

Étape 12.11

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

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Étape 12.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Étape 12.11.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{4}$

Forme décimale :

$0.78539816 \dots$