Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\arctan (6 x^{5}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \arctan (6 x^{5})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\arctan (6 x^{5})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\arctan (6 x^{5})$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x^{5})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = 6 x^{5}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\arctan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{5}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + {(6 (x^{5}))}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de produit à $6 (x^{5})$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 6^{2} {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3.2.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 {(x^{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{5 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [6 x^{5}])$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{1}{1 + 36 x^{10}} (6 \frac{d}{d x} [x^{5}]))$

Étape 3.4

Associez $6$ et $\frac{1}{1 + 36 x^{10}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{6}{1 + 36 x^{10}} (5 x^{4}))$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Associez $5$ et $\frac{6}{1 + 36 x^{10}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{5 \cdot 6}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

Étape 3.6.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} (\frac{30}{1 + 36 x^{10}} x^{4})$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{30}{1 + 36 x^{10}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{1 + 36 x^{10}}$

Étape 3.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\arctan (6 x^{5})} \cdot \frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$

Étape 3.6.5

Multipliez $\frac{1}{\arctan (6 x^{5})}$ par $\frac{30 x^{4}}{36 x^{10} + 1}$ .

$\frac{30 x^{4}}{\arctan (6 x^{5}) (36 x^{10} + 1)}$