Calcul infinitésimal Exemples

$y - x \sin (x y)$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Étape 1.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x y)$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$0 - (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 - (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$0 - (x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y) \cdot 1)$

Étape 2.8

Multipliez $\sin (x y)$ par $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - (x (\cos (x y) y)) - \sin (x y)$

Étape 3.2

Soustrayez $- (- x (\cos (x y) y) - \sin (x y))$ de $0$ .

$- x (\cos (x y) y) - \sin (x y)$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x y \cos (x y) - \sin (x y)$