Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\ln (2 x + 1))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (2 x + 1)$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0))$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2)$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2 x + 1}$ et $2$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{2}{2 x + 1}$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{2}{2 x + 1}$ et $\sin (\ln (2 x + 1))$ .

$- \frac{2 \sin (\ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$