Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

Étape 1.2.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

Étape 1.2.2.3.4

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

Étape 1.2.2.3.5

Soustrayez $81$ de $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

Étape 1.2.2.3.6

Multipliez $24$ par $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

Étape 1.2.2.3.7

Additionnez $- 54$ et $72$ .

$18 - 18$

Étape 1.2.2.3.8

Soustrayez $18$ de $18$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ par $x - 3$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x - 18$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x + 6$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} - 6 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $24$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ vraie.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $24$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 18$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $18$ de $0$ .

$y = - 18$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 18)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 18)$

Étape 4