Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$ .

$3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $- 2 x$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x^{\frac{2}{3}}$ à partir de $x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x^{\frac{1}{3}})$ .

$x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{\frac{2}{3}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{\frac{2}{3}}$ égal à $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{\frac{2}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 0^{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $3 - 2 x^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ .

$3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $3 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Étape 1.2.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Simplifiez ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 8 x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.1.1.4

Simplifiez

$- 8 x = {(- 3)}^{3}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 8 x = - 27$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - 27$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - 27$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 1.2.5.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 1.2.5.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 8}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.4.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{27}{8}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{\frac{2}{3}} (3 - 2 x^{\frac{1}{3}}) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{27}{8}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Simplifiez $3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = 3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Étape 2.2.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (\frac{27}{8}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4