Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Étape 1.2.2.3

Remplacez $4.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $4.5$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Remplacez $4.5$ dans le polynôme.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $4.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.3

Multipliez $4$ par $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.4

Élevez $4.5$ à la puissance $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.5

Multipliez $- 24$ par $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.6

Soustrayez $486$ de $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.7

Multipliez $35$ par $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Étape 1.2.2.3.8

Additionnez $- 121.5$ et $157.5$ .

$36 - 36$

Étape 1.2.2.3.9

Soustrayez $36$ de $36$ .

$0$

Étape 1.2.2.4

Comme $4.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 9$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Étape 1.2.2.5

Divisez $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ par $2 x - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Étape 1.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 1.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Étape 1.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Étape 1.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Étape 1.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Étape 1.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Étape 1.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Étape 1.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Étape 1.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Étape 1.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x - 36$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Étape 1.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Étape 1.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Étape 1.2.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $2 x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $2 x - 9$ égal à $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $2 x - 9 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 9$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 9$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 9$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x^{2} - 3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x^{2} - 3 x + 4$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{9}{2}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.4

Simplifiez $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 24$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $35$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 36$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $36$ de $0$ .

$y = - 36$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 36)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{9}{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 36)$

Étape 4