Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 3 \cos (\frac{1}{2} x)$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ .

$3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (\frac{1}{2} x) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (\frac{1}{2} x)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{1}{2} x)$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{0}{3}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{1}{2} x = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 1.2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.8.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.8.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.8.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.8.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.8.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Étape 1.2.8.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 π - π$

Étape 1.2.8.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 π$

Étape 1.2.9

Déterminez la période de $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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Étape 1.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 1.2.9.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 1.2.9.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\cos (\frac{1}{2} x)$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(π + 2 π n, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$

Étape 2.2.3

Simplifiez $3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (0))$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$y = 3 \cos (0)$

Étape 2.2.3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$y = 3 \cdot 1$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = 3$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(π + 2 π n, 0)$ , pour tout entier $n$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 3)$

Étape 4